מתמטיקה מבוססת על חוקים ומבוססת על גורמים

המתמטיקה ממלאת תפקיד משמעותי מאוד בחלק גדול מהמחקר המתנהל כיום במערכות סתגלניות מורכבות, אבל ברוב המקרים אין זו מתמטיקה מאותו סוג שחלש במשך דורות על התיאוריה המדעית. נניח שהבעיה היא כזו שבה המערכת מתפתחת עם הזמן, כך שבכל רגע ורגע משתנה מצבה בהתאם לחוק מסויים כלשהו. רבות מהצלחותיה המסחררות של התיאוריה המדעית הושגו בעזרת מתמטיקה של רצף, שבה משתנה הזמן, הוא רציף, וכמוהו המשתנים האחרים המתארים את מצבה של המערכת. מצב זה משתנה מרגע לרגע לפי חוק המבוטא במונחי המשתנים הרציפים המאפיינים את המערכת. בלשון טכנית, התפתחות המערכת לאורך זמן מתוארת במשוואה דיפרנציאלית, או בקבוצת משוואות כאלה. חלק ניכר מהתקדמותה של הפיזיקה הבסיסית במאות השנים האחרונות הסתמך על חוקים אלה, לרבות האלקטרומגנטיות של מקסוול, משוואות איינשטיין לכבידה בתורת היחסות, או משוואת שרדינגר למכניקת הקוונטים.

כאשר פותרים משוואות כאלה במחשב, מקובל להשתמש בקירוב למשתנה הזמן הרציף, דהיינו משתנה בדיד המקבל ערכים שמפרידים ביניהם מרווחים סופיים, במקום כל הערכים האפשריים שבין הרגע ההתחלתי והרגע הסופי התוחמים את פרק הזמן הנחקר. יתר על כן, גם המשתנים הרציפים המאפיינים את מצב המערכת מיוצגים במקורב על-ידי ערכים בדידים. את מקום המשוואה הדיפרנציאלית תופסת משוואת הֶפרשים. ככל שהמרווחים בין ערכים סמוכים של המשתנים הבדידים, לרבות הזמן, נעשים יותר ויותר קטנים, כך נראית משוואת ההפרשים יותר ויותר דומה למשוואה הדיפרנציאלית שאת מקומה היא תפסה, והמחשב הספרתי מתקרב עוד ועוד לפתרון הבעיה המקורית.

סוג המתמטיקה המשמש בדרך-כלל להדמיית המערכות הסתגלניות המורכבות דומה למתמטיקה הבדידה שמשתמש בה מחשב ספרתי כקירוב למשוואות דיפרנציאליות רציפות, אלא שכאן משתמשים במתמטיקה הבדידה משום עצמה, ולא כקירוב גרידא. יתר על כן, המשתנים המתארים את מצב המערכת עשויים לקבל כמה ערכים, כך שערכים שונים מייצגים אירועים חלופיים. (לדוגמא, אורגניזם יכול לאכול אורגניזם אחר, או לא לאכול אותו; שני אורגניזמים עשויים ללחום או לא ללחום זה בזה, ואם כן, אחד מהם מנצח או האחר; משקיע יכול לקנות מניות בבורסה, להחזיק בהם או למכור אותן.)

אפילו משתנה הזמן יכול להשתרע על פני כמה אלפי ערכים בלבד, המייצגים למשל דורות של מין או מספר עסקאות פיננסיות, בהתאם לסוג הבעיה. מלבד זאת, השינויים במערכת בכל אחד מאותם פרקי זמן בדידים נקבעים, בבעיות רבות, לפי כלל התלוי לא רק במצב המערכת באותה עת, אלא גם בתוצאתו של תהליך מקרי.

מקובל לכנות את המתמטיקה הבדידה שתוארה לעיל כמתמטיקה המבוססת על חוקים. זהו הסוג הטבעי של מתמטיקה למחשבים ספרתיים,ומרבים ליישם אותה להדמיית מערכות סתגלניות מורכבות הכוללות מספר רב של גורמי הסתגלות פרטניים, שכל אחד מהם הוא בעצמו מערכת סתגלנית מורכבת. במקרה הטיפוסי, הגורמים הללו – כגון אורגניזמים בחברה אקולוגית, או יחידים ופירמות במשק כלכלי – מפתחים סכימות לתיאור התנהגותם של גורמים אחרים ולמתן תגובה עליה. במקרים כאלה, המתמטיקה המבוססת על חוקים נהפכת למתמטיקה המבוססת על גורמים, כפי שהיא משמשת למשל בתוכנת Breve , Tierra ואחרות המשמשות להדמיה ממחושבת של אבולוציה ביולוגית, לוחמה ביולוגית, התנהגות נחילים ועוד. ניתן לראות דוגמאות לסימולציות המדמות אבולוציה ביולוגית בסרטונים אלה.